Qué es un intervalo de gráfica?

Una gráfica poligonal es una gráfica lineal típicamente utilizada por la estadística para comparar datos y representar la magnitud o frecuencia de ciertas variables.

En otras palabras, una gráfica poligonal es aquella que puede ser encontrada en un plano cartesiano, donde dos variables son relacionadas y los puntos marcados entre éstas son unidos hasta formar una línea continua e irregular.

Una gráfica poligonal cumple el mismo propósito de un histograma, pero es particularmente útil para comparar grupos de datos. También, es una buena alternativa para mostrar distribuciones acumulativas de frecuencia.

En este sentido, se entiende el término frecuencia como el número de veces que un evento tiene lugar dentro de una muestra.

Todas las gráficas poligonales se estructuran en un principio como histogramas. De esta manera, se marca un eje en X (horizontal) y un eje en Y (vertical).

También, son elegidas unas variables con sus respectivos intervalos y unas frecuencias para medir dichos intervalos. Usualmente, las variables se marcan en el plano de X y las frecuencias en el de Y.

Una vez establecidas las variables y frecuencias sobre los ejes de X y Y, se procede a marcar los puntos que las relacionan dentro del plano.

Estos puntos son posteriormente unidos, formando una línea continua e irregular conocida como gráfica poligonal (Education, 2017).

Factores de los que depende un intervalo de confianza

El cálculo de un intervalo de confianza depende principalmente de los siguientes factores:

• Tamaño de la muestra seleccionada: Dependiendo de la cantidad de datos que se hayan utilizado para calcular el valor muestral, este se acercará más o menos al verdadero parámetro poblacional.
• Nivel de confianza: Nos va a informar en qué porcentaje de casos nuestra estimación acierta. Los niveles habituales son el 95% y el 99%.
• Margen de error de nuestra estimación: Este se denomina como alfa y nos informa de la probabilidad que existe de que el valor poblacional esté fuera de nuestro intervalo.
• Lo estimado en la muestra (media, varianza, diferencia de medias…): De esto va a depender el estadístico pivote para el cálculo del intervalo.

Función de la Gráfica Poligonal

La principal función de una gráfica poligonal es indicar los cambios sufridos por un fenómeno dentro de un período definido de tiempo o en relación con otro fenómeno conocido como frecuencia.

De esta manera, es una herramienta útil para comparar el estado de las variables en el tiempo o en contraposición con otros factores (Lane, 2017).

Algunos ejemplos comunes que pueden ser evidenciados en la cotidianidad incluyen el análisis de la variación de precios de ciertos productos con el paso de los años, el cambio en el peso corporal, el incremento del salario mínimo de un país, y en general.

En términos generales, una gráfica poligonal se utiliza cuando se quiere representar visualmente la variación de un fenómeno en el tiempo, con el objetivo de poder establecer comparaciones cuantitativas del mismo.

Esta gráfica se deriva en muchos casos de un histograma en cuanto a que los puntos que se marcan en el plano cartesiano corresponden a aquellos que abarcan las barras del histograma.

Ejemplo de intervalo de confianza para la media, asumiendo normalidad y conocida la desviación típica

El estadístico pivote utilizado para el cálculo sería el siguiente:

El intervalo resultante sería el siguiente:

Vemos como en el intervalo a la izquierda y derecha de la desigualdad tenemos la cota inferior y superior respectivamente. Por tanto la expresión nos dice, que la probabilidad de que la media poblacional se sitúe entre esos valores es de 1-alfa (nivel de confianza).

Veamos mejor lo anterior con un ejercicio resuelto a modo de ejemplo.

Se desea estimar la media del tiempo que un corredor emplea para completar una maratón. Para ello se han cronometrado 10 maratones  y se ha obtenido una media de 4 horas con una desviación típica de 55 minutos. Se desea obtener un intervalo al 95% de confianza.

Para obtener el intervalo, no tendríamos más que sustituir los datos en la fórmula del intervalo.

El intervalo de confianza, sería la parte de la distribución que queda sombreada en azul. Los 2 valores acotados por este serían los correspondientes a las 2 líneas de color rojo. La linea central que parte la distribución en 2 sería el verdadero valor poblacional.

Es importante resaltar que en este caso, dado que la función de densidad de la distribución N(0,1) nos da la probabilidad acumulada (desde la izquierda hasta el valor crítico), tenemos que encontrar el valor que nos deja a la izquierda 0,975% (este es 1,96).

Intersección de intervalos

Dados dos intervalos reales cualesquiera, su intersección es un conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a ambos intervalos.

La intersección de los intervalos $$(a,b)$$ y $$(c,d)$$ se denota por $$$(a,b)cap(c,d)$$$ y se calcula: $$$(a,b)cap (c,d) = { xinmathbb{R} | xin(a,b) mbox{y} xin(c,d)}=$$$ $$$={ xinmathbb{R} | a

En función del orden en que se encuentren los números $$a, b, c$$ y $$d$$ el resultado será uno u orto. Igual que en la unión, tenemos necesariamente que $$a

• Si $$a

Análogamente, si $$c

• si $$c

De igual forma, si $$a

• Si $$a pero al ser $$b

En el caso de tener dos intervalos cuya intersección sea el vacío, diremos que son dos intervalos disjuntos.

El concepto vacío, $$emptyset$$, se considera también un intervalo, ya que $$emptyset=(a,a)$$ para cualquier número real $$a$$, así que, a diferencia de la unión, la intersección de intervalos es siempre un intervalo, aunque se puede tratar del caso particular del intervalo vacío.

Veamos un ejemplo de intersección de intervalos.

Consideremos los intervalos $$cup $$$

En el caso particular del intervalo vacío, $$emptyset$$, tenemos que su complementario son todos los elementos que no pertenecen a $$emptyset$$, pero al no haber ningún elemento en $$emptyset$$, tenemos que el complementario del vacío es el total: $$$overline{emptyset}={ xinmathbb{R} | xnotin emptyset= mathbb{R}}$$$

Hay que remarcar, además, que el total es también un intervalo, ya que: $$mathbb{R}=(-infty,+infty)$$.