Trucos para factorizar las ecuaciones de segundo grado

Publicado por Luisa en

En esta página resolvemos 15 problemas sobre ecuaciones de segundo grado. En la mayoría de los problemas se pide calcular las soluciones de las ecuaciones. Las últimas 4 ecuaciones tienen soluciones complejas.

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1. Ecuaciones completas

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Factorización en línea mediante la búsqueda de factores comunes

La función factorizar es capaz de reconocer los factores comunes de una expresión algebraica :

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Caso 1

Si (b), (cneq 0), se dice que la ecuación es completa y sus soluciones las proporciona la fórmula

Resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas, con soluciones reales y complejas. Discriminante y fórmula cuadrática. Polinomios de segundo grado y raíces. ESO. Álgebra básica.

En los siguientes casos, las ecuaciones se dice que son incompletas:

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Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización

En este caso, vamos a aprovechar la propiedad del factor 0, esto es: si el producto de dos números es 0, al menos uno de los números es cero.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita igual negrita menos negrita 2 negrita x fin estilo

Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 2 negrita x negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 2: usa la propiedad distributiva para factorizar el término de la izquierda.

estilo tamaño 14px negrita x abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: usa la propiedad del cero para separar los factores. Así, x = 0 o x + 2 = 0

Paso 4: resuelve la ecuación lineal resultante.

En este caso, las soluciones son x = 0 o x = -2

estilo tamaño 14px negrita x subíndice negrita 1 negrita igual negrita 0 negrita x subíndice negrita 2 negrita igual negrita menos negrita 2 fin estilo

Ejemplo 1

Resuelve la siguiente ecuación cuadrática por factorización:

Error converting from MathML to accessible text.

Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita x negrita menos negrita 6 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 2: factoriza.

estilo tamaño 14px negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 3 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: usa la propiedad del cero para separar los factores.

estilo tamaño 14px negrita x negrita menos negrita 2 negrita igual negrita 0 negrita espacio negrita x negrita más negrita 3 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 4: resuelve las ecuaciones lineales resultantes.

estilo tamaño 14px negrita x negrita igual negrita 2 negrita espacio negrita x negrita igual negrita menos negrita 3 fin estilo

Ejemplo 2

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por factorización:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita x negrita igual negrita menos negrita 4 fin estilo

Paso 1: coloca la ecuación en formato normal.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 4 negrita x negrita más negrita 4 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 2: factoriza.

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: aplica raíz cuadrada a cada miembro de la ecuación.

estilo tamaño 14px raíz cuadrada de abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 fin raíz negrita igual raíz cuadrada de negrita 0 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x negrita menos negrita 2 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita 2 fin estilo

Ejemplo 3

Resolver la siguiente ecuación cuadrática por factorización:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 7 negrita x negrita igual negrita 18 fin estilo

Paso 1: colocar la ecuación en formato normal.

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 7 negrita x negrita menos negrita 18 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 2: factorizar.

estilo tamaño 14px negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita menos negrita 2 negrita paréntesis derecho negrita paréntesis izquierdo negrita x negrita más negrita 9 negrita paréntesis derecho negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: resolver cada una de las ecuaciones lineales resultantes.

estilo tamaño 14px negrita x negrita menos negrita 2 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita 2 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x negrita más negrita 9 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita menos negrita 9 fin estilo

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Caso 4

Si (b = c = 0), la ecuación es de la forma

La única solución es

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Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado

Cuando un problema da origen a una ecuación de segundo grado, al resolverla se obtienen dos valores para el término desconocido. En este caso, solo se acepta el valor que satisfaga las condiciones del problema.

Por ejemplo: A es dos años mayor que B y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. Halla ambas edades.

Paso 1: establecer las condiciones del problema, en este caso, x es igual a la edad de A y x – 2 es la edad de B. Entonces tenemos que:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita más abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 2 cerrar paréntesis elevado a negrita 2 negrita igual negrita 130 fin estilo

Paso 2: arreglar la ecuación al formato general:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 2 negrita x negrita menos negrita 63 negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 3: factorizamos en este caso:

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita x negrita menos negrita 9 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 7 cerrar paréntesis negrita igual negrita 0 fin estilo

Paso 4: resolvemos las ecuaciones lineales resultantes:

estilo tamaño 14px negrita x negrita menos negrita 9 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita 9 fin estilo

estilo tamaño 14px negrita x negrita más negrita 7 negrita igual negrita 0 negrita flecha doble derecha negrita x negrita igual negrita menos negrita 7 fin estilo

Paso 5: se rechaza la solución x = -7 porque la edad no puede ser negativa. Entonces A tiene 9 años y B tiene 9 – 2 = 7 años.

Ejercicio

La longitud de un terreno rectangular es doble que el ancho. Si la longitud se aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace doble. Halla las dimensiones del terreno.

Sea x = el ancho del terreno, entonces 2x = la longitud del terreno y el área del terreno es 2xx = 2×2

Si aumentando la longitud en 40 m, esta sería (2x + 40)m y aumentando el ancho en 6 m, este sería (x + 6)m. El área ahora será:

estilo tamaño 14px abrir paréntesis negrita 2 negrita x negrita más negrita 40 cerrar paréntesis abrir paréntesis negrita x negrita más negrita 6 cerrar paréntesis negrita igual negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 52 negrita x negrita más negrita 240 fin estilo

pero según las condiciones, esta nueva área sería el doble que la anterior 2×2; luego tenemos la ecuación:

estilo tamaño 14px negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 52 negrita x negrita más negrita 240 negrita igual negrita 4 negrita x elevado a negrita 2 fin estilo

Transponiendo y reduciendo:

estilo tamaño 14px negrita menos negrita 2 negrita x elevado a negrita 2 negrita más negrita 52 negrita x negrita más negrita 240 negrita igual negrita 0 fin estilo

Cambiando signos y dividiendo por 2, nos queda:

estilo tamaño 14px negrita x elevado a negrita 2 negrita menos negrita 26 negrita x negrita menos negrita 120 negrita igual negrita 0 fin estilo

Resolviendo esta ecuación se halla que x = 30 y x = -4. Aceptamos la solución x = 30, el ancho del terreno es 30 m y la longitud es 60 m.

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Problema 1

Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación

Solución


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Problema 2

Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación

Solución


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Problema 4

Resolver la ecuación de segundo grado incompleta

Solución




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Problema 6

Resolver la ecuación de segundo grado completa

Solución


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Problema 7

Resolver la ecuación

Solución

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Problema 8

Resolver la ecuación completa

Solución


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Problema 10

Encontrar las raíces del polinomio

Solución


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Problema 11

Resolver la ecuación de segundo grado completa

Solución


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Problema 12

Resolver la ecuación

Solución


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Problema 13

Resolver la ecuación

Solución


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Problema 14

Resolver la ecuación

Solución


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Problema 15

Resolver la ecuación

Solución


Problemas y Ecuaciones © – 2017

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