Cómo factorizar polinomios al cubo

La factorización de una expresión algebraica es el procedimiento a través del cual, dicha expresión se escribe como una multiplicación. Al factorizar polinomios lo que se pretende es encontrar dos o más factores que tengan como producto la misma expresión algebraica.

El objetivo que se persigue al factorizar polinomios es poder representar un polinomio como el producto de varios otros polinomios de menor grado.

Los factores de una expresión algebraica son los términos o componentes de la misma. Lo importante es que al ser multiplicados entre sí arrojen un resultado que sea igual a la primera expresión. Esto se puede observar en un ejemplo:

Expresión algebraica: x(x+y)

Al multiplicar los términos entre sí, tenemos: x2 + xy

De este modo: x(x+y) = x2 + xy

Factorización en línea mediante la búsqueda de factores comunes

La función factorizar es capaz de reconocer los factores comunes de una expresión algebraica :

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Migdalia

gracias! casate conmigo, soy de venezuela! jajaja

El factor común al factorizar polinomios

Al factorizar polinomios se da el caso de que algunos de los términos tienen un factor común, mientras que otros no. Cuando esto ocurre, lo que se debe hacer es una agrupación de los términos, mediante paréntesis.

La agrupación puede efectuarse de diversas maneras. Lo único importante es que los términos agrupados tengan un factor común. No importa cómo se realice la agrupación, el resultado será siempre el mismo. Este es un ejemplo:

xa + ya + xb + yb

Estos términos podrían agruparse así:

(xa + ya) + (xb + yb)

Luego, quedarían de este modo:

a(x+y) + b(x+y)

Al extraer el factor común y hacer la factorización, este sería el resultado:

xa + ya + xb + yb = (x+y) (a+b)

Como se indicó anteriormente, la agrupación se puede hacer de diversas maneras. En este mismo ejemplo, hay otra alternativa para agrupar los términos:

xa + ya + xb + yb

(xa + xb) + (ya + yb)

x(a+b) + y(a+b)

xa + ya + xb + yb = (a+b) (x+y)

Como se observa, el resultado final siempre es el mismo. Se cumple la ley conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.

Factorización usando productos notables

La función factorizar es capaz de reconocer las identidades notables usuales y usarlas para factorizar expresiones algebraico

• la siguiente identidad notable `a^2+b^2+2ab=(a+b)^2` se usa por ejemplo para factorizar la expresión `1+2x+x^2`, el resultado devuelto por la función es `(1+x)^2`
• el siguiente producto notable `a^2+b^2-2ab=(a-b)^2` se usa por ejemplo para factorizar la expresión `1-2x+x^2` factorizar(1-2x+x^2), el resultado devuelto será la siguiente expresión factorizada `(1-x)^2`
• el siguiente producto notable `a^2-b^2=(a-b)*(a+b)` se usa por ejemplo para factorizar la expresión `1-x^2`, el resultado devuelto por el la función es `(1-x)(1+x)`

Factorizar polinomios mediante productos notables

Otra manera de factorizar polinomios es a través de los productos notables, los cuales son: trinomio cuadrado perfecto y trinomio de la forma x2 + bx + c. Los demás casos de productos notables que contempla el álgebra se aplican solo a binomios.

Trinomio cuadrado perfecto

Es un polinomio compuesto por tres términos, el cual es resultado de elevar al cuadrado dos binomios iguales. La regla dice: “Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término”.

Por lo tanto, el procedimiento para factorizar en este caso es:

• Extraer la raíz cuadrada al primer y tercer términos
• Separar las raíces por el signo que corresponda al segundo término
• Elevar al cuadrado el binomio que se forme

Ejemplo:

4 a2 – 12ab + 9 b2

• Raíz cuadrada de 4 a2 = 2a
• Raíz cuadrada de 9 b2 = 3b

Por lo tanto:

4 a2 – 12ab + 9 b2  = (2ª – 3b)2

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Lo primero que se debe hacer es verificar que el trinomio cumpla con los siguientes parámetros:

• El coeficiente del primer término debe ser 1.
• El primer término tiene que ser una letra que está elevada al cuadrado.
• El segundo término tiene la misma letra del primer término, pero no está elevada al cuadrado, es decir, tiene exponente 1.
• El coeficiente del segundo término puede ser cualquier cantidad, bien sea con signo positivo o negativo.
• El tercer término no tiene nada que ver con el primero, ni con el segundo término. Es decir que se trata de una cantidad cualquiera, sin relación alguna con las anteriores.