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Cómo calcular el área de un círculo utilizando el área del cuadrado que ha inscrito en su interior

Publicado por Luisa en

¿Quieres saber cómo calcular el área de un circulo? Aquí te lo explicamos de manera rápida y sencilla a hallar el valor del área de un círculo dado.

Este es un problema que se presenta de manera frecuente en clases de matemáticas, concretamente en geometría, y es consiste en calcular el área de un circulo.

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Categorías: Cálculos y conversiones

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Ejercicio 1

Dibujo de un ejemplo del área del círculo conociendo el radio.

Sea un círculo de radio conocido, siendo éste r=2 cm.

Aplicamos la fórmula anterior:

Cálculo del área de un círculo de radio conocido.

Y se obtiene que el área de un círculo de radio 2 cm es de 12,57 cm2.

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Fórmula para calcular el área de un círculo


  • Fórmula para sacar el área de un círculo con el radio


    • A = π × r2





  • Fórmula para sacar el área de un círculo con el diámetro


    • A = (π/4) × D2



  • ¿Te ha servido de ayuda?
  • SíNo

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Método

Calcular el área a partir de la circunferencia

  1. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 9

    Aprende la fórmula revisada. Si conoces la circunferencia de un círculo, puedes utilizar la fórmula revisada para hallar el área. Esta fórmula utiliza directamente la circunferencia en lugar del radio. Esta nueva fórmula es la siguiente:

  2. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 10

    Mide o registra la circunferencia. En algunas situaciones reales, quizás no puedas medir con precisión el diámetro o el radio. Si en el problema no está dibujado el diámetro ni se identifica el centro, probablemente sea difícil determinar el centro de un círculo. En algunos círculos físicos (p.ej.: una bandeja para pizza o una sartén), puedes utilizar una cinta métrica para medir la circunferencia de una manera más precisa de lo que puedes medir el diámetro.

    • En este ejemplo, supongamos que te han proporcionado o has medido la circunferencia de un círculo (o un objeto circular), la cual es 42 cm.
  3. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 11

    Utiliza la relación que hay entre la circunferencia y el radio para revisar la fórmula. La circunferencia de un círculo es igual a pi por el diámetro. Puedes escribir esto de la siguiente manera: . Ahora, recuerda que el diámetro es igual al doble del radio, es decir, . Puedes combinar estas dos igualdades para crear la siguiente relación: . Reorganiza esta fórmula para aislar la variable by itself, de la siguiente manera:

    • ….. (divide ambos lados entre 2)
  4. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 12

    Reemplaza las variables en la fórmula para hallar el área de un círculo. Puedes crear una versión modificada de la fórmula para hallar el área de un círculo utiliza esta relación entre la circunferencia y el radio. Reemplaza esta última igualdad en la fórmula original para hallar el área de la siguiente manera:

    • …..(fórmula del área original)
    • ….. (reemplaza la igualdad por r)
    • …..(eleva la fracción al cuadrado)
    • …..(cancela en el numerador y denominador)
  5. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 13

    Utiliza la fórmula revisada para hallar el área. Con esta fórmula revisada que utiliza la circunferencia en lugar del radio, podrás utilizar la información que tienes para hallar directamente el área. Introduce el valor de la circunferencia y realiza los cálculos de la siguiente manera:

    • En este ejemplo, se sabe que cm.
    • …..(introduce el valor)
    • .….(calcula 422)
    • …..(divide entre 4)
  6. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 14

    Da el resultado. A menos que el problema te indique que la circunferencia es un múltiplo de , el resultado probablemente sea una fracción con en el denominador, algo que no es incorrecto. Deberás dar el cálculo del área utilizando ese símbolo o podrías dar una aproximación al dividir el resultado entre 3,14.

    • En este ejemplo, como la circunferencia mide 42 cm, el área será centímetros cuadrados.
    • Si aproximas, . El área medirá aproximadamente 140 centímetros cuadrados.

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Calcular el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia

Si tenemos un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio r, podemos calcular el lado con la siguiente fórmula:

lado = √2r2

Por ejemplo, si nos dan un cuadrado inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio, ¿cuánto mide su lado? Para resolverlo aplicamos la fórmula anterior y tenemos que:

lado = √2r2 = √(2 x 6 x 6) = √72 = 8,485 cm

Si te ha quedado alguna duda de cómo calcular el lado de un cuadrado mediante los métodos que hemos descrito o alguno otro que no aparezca aquí, escríbenos un comentario y te ayudaremos a resolver tus preguntas.

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Cómo calcular el lado de un cuadrado sabiendo la diagonal

Si nos piden calcular el lado a partir de la diagonal de un cuadrado, el procedimiento a seguir está basado en el Teorema de Pitágoras. Si quieres saber más de ese teorema, pásate por el link que te acabamos de dejar.

Si adaptamos el Teorema de Pitágoras a un cuadrado que tiene todos los lados iguales, nos queda la siguiente fórmula:

d2 = a2 + a2 = 2a2

Esa fórmula básicamente nos dice que la diagonal del cuadrado elevada al cuadrado es igual al doble del lado del cuadrado al cuadrado. Ahora lo que tenemos que hacer es despejar de ahí la incógnita ‘a’ que es la que nos interesa para calcular el lado del cuadrado a partir de la diagonal:

a = diagonal/√2

Para entender mejor el procedimiento, vamos a verlo con un ejemplo resuelto.

Calcular el lado de un cuadrado cuya diagonal es 12

Nos dan un cuadrado cuya diagonal mide 12 centímetros y nos piden hallar cuánto miden sus lados. Para ello, recurrimos a la fórmula vista en el punto anterior y tenemos que:

a = 12 cm / √2 = 8,48528 cm

Si queremos comprobar que el valor que hemos obtenido es correcto, basta con acudir al Teorema de Pitágoras y comprobar que se cumple la fórmula inicial:

d2 = 12 x 12 = 144

2a2= 2 x 8,48528 x 8,48528 = 144

Como puedes ver, la igualdad se cumple así que hemos calculado bien los lados del cuadrado. Si la igualdad no se te cumple por décimas o centésimas, puede que arrastres imprecisiones como consecuencia del redondeo.

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Cómo calcular el área de un circulo

El círculo está formado por una circunferencia, un contorno cerrado y un espacio en el interior llamado área. Para poder saber cómo calcular el área de un circulo, hay que conocer primeramente es la fórmula básica para obtener el área de un circulo, y es:

Área = Π x r2

No es una fórmula complicada, solo necesita el valor Pi (Π)y el radio del círculo (r).

Para calcular el área de un circulo podemos utilizar el radio, también el diámetro, pero siempre necesitaremos utilizar el número Pi, que se escribe y tiene un valor de 3,14 periódico.

Radio: se trata de la distancia que existe entre el centro del círculo y el contorno.

Diámetro: es la anchura del círculo, que se mide comenzando desde un punto concreto de la circunferencia, y terminando en el lado opuesto atravesando el centro del círculo.

Las fórmulas que se pueden utilizar para calcular el área que tiene un círculo son:

  • Calcular el área con el radio: Área = Π x r2
  • Calcular el área con el diámetro: Área = (Π/4) x D2

Para calcular el superficie de un círculo hay que hacer uso de las fórmulas siendo r el radio, y D el diámetro del círculo.

También podemos hacerlo con la fórmula que sirve para averiguar el área de los polígonos regulares:

Área = perímetro x apotema/2 = (2 x Π x r)/2 = 2 x Π x r2/2 = Π x r2

Cálculo del área de un círculo mediante el radio

El radio es la distancia que hay desde el centro del círculo hasta cualquier punto del borde de la circunferencia. El radio es la mitad del diámetro, y después veremos cómo calcular el área cuando tienes el diámetro en lugar del radio.

La formula es sencilla:

Área = Π x r2

Vamos a hacer un ejemplo para ver lo sencillo que es. Supongamos un círculo con un radio de 3 centímetros.

La variable r que representa al radio, en este caso equivale a 3 cm, y se debe elevar al cuadrado:

A = Π x 32 = Π x 9

Ahora solo queda multiplicar este valor por Pi, la constante matemática que representa la proporción entre el área del círculo y el radio, y vale 3,14.

A = Π x 9 = 3,14 x 9 = 28,26 centímetros2.

No te olvides que el área se debe de expresar en unidades al cuadrado. Si se mide el área en centímetros, el resultado del área será en centímetros cuadrados. En el caso del ejemplo, son 28,26 cm2.

Otra forma de expresar el resultado podría ser 9Π cm2.

Calcular el área de un circulo con el diámetro

El diámetro es la anchura del círculo, que se mide comenzando desde un punto de la circunferencia, y terminando en el lado opuesto pasando por el centro del círculo.

Cuando se tiene que calcular el área si se da el diámetro, resulta tan fácil como antes. El diámetro es el doble del radio, o lo que es lo mismo, el radio es la mitad del diámetro.

D = 2r r = D/2

Por lo tanto, cuando se tiene el diámetro solo hay que convertirlo en el radio y volver a aplicar la fórmula original del área. Veamos un ejemplo con un círculo de 8 cm de diámetro:

r = 8/2 = 4 cm de radio.

A = Π x 42 = Π x 16 = 50,24 cm2

También se puede utilizar la siguiente fórmula que utiliza el valor del diámetro en vez del radio:

Área = (Π/4) x D2

A = (Π/4) x 82 = (Π/4) x 64 = 0,785 x 64 = 50,24 cm2

Cálculo del área de un círculo con la circunferencia

Como en el caso del diámetro, podemos averiguar a partir de la circunferencia el radio, siendo C la circunferencia, que es igual a Π multiplicado por el diámetro:

C = Π x D

Como el diámetro vale el doble de lo que vale el radio, podemos sustituir:

C = Π x 2r

Si ahora rehacemos la formula para aislar el radio tenemos:

r = C/2Π

Pero también se puede utilizar el valor de la circunferencia aplicando directamente la siguiente fórmula:

A = C2/4Π

Esta nueva fórmula sale de sustituir en la original el radio por la circunferencia. Tenemos la fórmula original: A = Π x r2

Y sustituimos el radio: A = Π x (C/2Π)2

Elevamos al cuadrado la fracción : A = Π x (C2/22Π2)

Y cancelamos el número Π en el numerador y el denominador: A = Π x C2/4Π

Vamos a aplicarlo en un ejemplo, con un círculo de 50 cm de circunferencia. Primero vamos a deducir el radio utilizando la relación entre la circunferencia y el radio:

r = 50/2Π = 50/6.28 = 7.96 cm de radio.

Ahora solo hay que aplicar la fórmula original del área:

A = Π x 7.962 = Π x 63,37 = 199 cm2 aproximadamente.

Si utilizamos la fórmula que aplica el valor de la circunferencia de manera directa tenemos:

A = 502/4Π = 2500/12,56 = 199 cm2 aproximadamente.

Bueno, amigo lector, esperamos que este artículo dedicado a aprender a cómo calcular el área de un círculo, te haya servido de ayuda.

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Método

Hallar el área a partir de un sector del círculo

  1. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 15

    Identifica la información que conoces o te han proporcionado. En algunos problemas, podrían darte el valor de un sector del círculo y luego pedirte que halles el área de todo el círculo. Lee el problema con detenimiento y busca información similar a “Un sector del círculo O tiene un área de 15 cm2. Halla el área del círculo O”.

  2. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 16

    Define el sector elegido. Un sector de un círculo es una parte que, en ocasiones, se conoce también como una “poción”. Para definir un sector, se dibuja dos radios que parten desde el centro del círculo hasta el borde. El espacio entre ellos se denomina sector.

  3. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 17

    Mide el ángulo central del sector. Utiliza un transportador para medir el ángulo central que forman ambos radios. Fija la base del transportador a lo largo de uno de los radios, alineando el punto central de este con el centro del círculo. Luego, lee la medida del ángulo que corresponda con la posición del segundo radio que forma el sector.

    • Asegúrate de determinar si vas a medir el ángulo pequeño entre ambos radios o el más grande fuera de ellos. El problema debe indicártelo. La suma del ángulo pequeño y el grande será de 360 grados.
    • En algunos problemas, en lugar de tener que medir el ángulo central, el problema simplemente puede indicarte dicha medida. Por ejemplo, podría decir lo siguiente: “El ángulo central del sector es de 45 grados” o, de lo contrario, probablemente debas medirlo por tu cuenta.
  4. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 18

    Utiliza una fórmula modificada para hallar el área. Si conoces el área de un sector y la medida de su ángulo central, podrás utilizar la siguiente fórmula modificada para hallar el área del círculo:

      • es el área de todo el círculo
      • es el área del sector
      • es la medida del ángulo central
  5. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 19

    Ingresa los valores que conoces y halla el área. En este ejemplo, se te indicó que el ángulo central es de 45 grados y que el sector tiene un área de 15. A continuación, ingresa estos valores en la fórmula y resuelve de la siguiente manera:

  6. Imagen titulada Calculate the Area of a Circle Step 20

    Da el resultado. En este ejemplo, el sector representa un octavo del círculo total. Por lo tanto, el área de todo el círculo mide 120 cm2. Como el problema proporciona el área del sector utilizando el símbolo , puedes asumir que debes dar el área total del círculo utilizando el mismo símbolo.

    • Si quieres dar un valor numérico, puedes multiplicar 120 x 3,14 para obtener un valor de 376,8 cm2.

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